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        1. 【題目】已知函數(shù),

          時,,求實數(shù)a的取值范圍;

          時,曲線和曲線是否存在公共切線?并說明理由.

          【答案】(1);(2)存在公共切線,理由詳見解析.

          【解析】

          (1)構(gòu)造函數(shù),求出其最大值,解不等式即可得到實數(shù)的取值范圍;

          (2)假設(shè)存在這樣的直線且直線與曲線和曲線分別相切與點.分別求出兩條切線方程,根據(jù)斜率與縱截距建立方程組,減元后得到,構(gòu)造新函數(shù)研究單調(diào)性與極值即可.

          解:,則.

          ,則,若,則.

          所以上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

          所以的極大值點,也是的最大值點,即.

          恒成立,則只需,解得.

          所以實數(shù)的取值范圍是.

          假設(shè)存在這樣的直線且與曲線和曲線分別相切與點.

          ,得.

          曲線在點處的切線方程為,即.

          同理可得,

          曲線在點處的切線方程為,即.

          所以,即

          構(gòu)造函數(shù)

          存在直線與曲線和曲線相切,

          等價于函數(shù)上有零點

          對于.

          時,在上單調(diào)遞增.

          時,因為,所以上是減函數(shù).

          ,,所以存在,使得,即.

          且當時,當時,.

          綜上,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

          所以的極大值,也是最大值,且.

          ,,所以內(nèi)和內(nèi)各有一個零點.

          故假設(shè)成立,即曲線和曲線存在公共切線.

          練習冊系列答案
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