Question

（2009•濰坊二模）已知函數(shù)f（x）=-2sinx•cosx+2cos²x+1．
（1）設(shè)方程f（x）-1=0在（0，π）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位使所得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x）的解析式為

2

cos（2x+

π

4

）+2，由f（x）-1=0求得cos（2x+

π

4

）=-

2

2

，再根據(jù)x∈（0，π），求得x₁和x₂的值，即可求得x₁+x₂的值．
（2）設(shè)y=f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，根據(jù)y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱，求得mm=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z，從而求得m的最小值．

解答：解：（1）由題設(shè)f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos（2x+

π

4

）+2，…（2分）
∵f（x）-1=0，∴

2

cos（2x+

π

4

）+1=0，…（3分）
∴cos（2x+

π

4

）=-

2

2

．…（4分）
由2x+

π

4

=2kπ+

3

4

π或2x+

π

4

=2kπ+

5

4

π，k∈Z，求得x=kπ+

π

4

或x=kπ+

π

2

．…（5分）
∵x∈（0，π），∴x₁=

π

4

，x₂=

π

2

，∴x₁+x₂=

3

4

π．…（6分）
（2）設(shè)y=f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）=

2

cos（2x+

π

4

+2m）+2，…（8分）
∵y=g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，2）對(duì)稱，
∴2m+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z．…（10分）
∴2m=kπ+

π

4

，k∈Z．
∴m=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．…（11分）
∵m＞0，
∴k=0時(shí)，m取得最小值

π

8

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．