Question

（2012•杭州二模）已知拋物線C：x²=2py（p＞0），其焦點F到直線x-y-1=0的距離為

5

8

2

．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若△ABC的三個頂點在拋物線C上，頂點B 的橫坐標(biāo)為1，且直線BA，BC的傾斜角互為補角，過點A、C分別作拋物線C 的切線，兩切線相交于點D，當(dāng)△ADC面積等于4時，求直線BC的斜率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的焦點F到直線x-y-1=0的距離為

5

8

2

，可得

|0- p 2 -1|

2

=

5

8

2

，從而可求拋物線C的方程；
（Ⅱ）可得B（1，1），設(shè)A（x₁，x12），C（x₂，x22），將直線AB、BC方程與拋物線方程聯(lián)立，確定A、C的坐標(biāo)，設(shè)出DC，AD的方程，聯(lián)立解得D的坐標(biāo)，表示出△ACD的面積，進而可確定直線BC的斜率．

解答：解：（Ⅰ）拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F（0，

p

2

）
∵焦點F到直線x-y-1=0的距離為

5

8

2

∴

|0- p 2 -1|

2

=

5

8

2

∴p=

1

2

∴拋物線C的方程為x²=y；
（Ⅱ）∵△ABC的三個頂點在拋物線C上，頂點B 的橫坐標(biāo)為1，
∴B（1，1）
設(shè)A（x₁，x12），C（x₂，x22），直線BC方程為y-1=k（x-1）
由

y-1=k(x-1) x2=y

，消去y可得x²-kx+k-1=0
∴1+x₂=k，∴x₂=k-1，∴C（k-1，（k-1）²）
同理A（-k-1，（k+1）²），線段AC的中點M的坐標(biāo)為（-1，k²+1）
y′=2x，則設(shè)DC：y-（k-1）²=2（k-1）（x-k+1）；AD：y-（k+1）²=-2（k+1）（x+k+1）
聯(lián)立解得D（-1，1-k²）
連接DM，則|DM|=2k²
∴△ACD的面積S=

1

2

×2k2(|k-2|+|k|)
當(dāng)k≥2時，S=k²（2k-2）＞8＞4，所以k無解；
當(dāng)0≤k＜2時，S=2k²=4，解得k=

2

；
當(dāng)k＜0時，S=k²（2-2k）=4，解得k=-1，
綜上所述，直線BC的斜率為

2

或-1

點評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的切線，考查三角形的面積的計算，解題的關(guān)鍵是利用點到直線的距離公式，確定切線方程，屬于中檔題．