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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          13
          ax3-bx2+(2-b)x+1
          在x=x1處取得極大值,在x=x2處取得極小值,且0<x1<1<x2<2.
          (1)證明a>0;(2)若z=a+2b,求z的取值范圍.
          分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),因為函數(shù)在x=x1和x=x2取得極值得到:x1,x2是導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個根.表示出導(dǎo)函數(shù),因為x<x1函數(shù)為增函數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)大于0,根據(jù)不等式取解集的方法即可得到a的范圍;
          (2)由0<x1<1<x2<2得到導(dǎo)函數(shù)在x=0、2時大于0,導(dǎo)函數(shù)在x=1時小于0,得到如圖所示的三角形ABC,求出三個頂點的坐標(biāo)即可得到相應(yīng)的z值,得到z的取值范圍即可.
          解答:精英家教網(wǎng)解:求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=ax2-2bx+2-b.
          (1)由函數(shù)f(x)在x=x1處取得極大值,
          在x=x2處取得極小值,知x1,x2是f'(x)=0的兩個根.
          所以f'(x)=a(x-x1)(x-x2
          當(dāng)x<x1時,f(x)為增函數(shù),f'(x)>0,
          由x-x1<0,x-x2<0,得a>0.
          (2)在題設(shè)下,0<x1<1<x2<2等價于
          f′(0)>0
          f′(1)<0
          f′(2)>0
          ,
          2-b>0
          a-2b+2-b<0
          4a-4b+2-b>0

          化簡得
          2-b>0
          a-3b+2<0
          4a-5b+2>0

          此不等式組表示的區(qū)域為平面aOb上三條直線:2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0.
          所圍成的△ABC的內(nèi)部,其三個頂點分別為:A(
          4
          7
          ,
          6
          7
          ),B(2,2),C(4,2)

          z在這三點的值依次為
          16
          7
          ,6,8

          所以z的取值范圍為(
          16
          7
          ,8)
          點評:本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,會利用數(shù)形結(jié)合法進行簡單的線性規(guī)劃.在解題時學(xué)生應(yīng)注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時滿足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案