Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，且0＜x₁＜1＜x₂＜2．
（1）證明a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因為函數(shù)在x=x₁和x=x₂取得極值得到：x₁，x₂是導(dǎo)函數(shù)等于0的兩個根．表示出導(dǎo)函數(shù)，因為x＜x₁函數(shù)為增函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0，根據(jù)不等式取解集的方法即可得到a的范圍；
（2）由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到導(dǎo)函數(shù)在x=0、2時大于0，導(dǎo)函數(shù)在x=1時小于0，得到如圖所示的三角形ABC，求出三個頂點的坐標即可得到相應(yīng)的z值，得到z的取值范圍即可．

解答：解：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²-2bx+2-b．
（1）由函數(shù)f（x）在x=x₁處取得極大值，
在x=x₂處取得極小值，知x₁，x₂是f'（x）=0的兩個根．
所以f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
當x＜x₁時，f（x）為增函數(shù)，f'（x）＞0，
由x-x₁＜0，x-x₂＜0，得a＞0．
（2）在題設(shè)下，0＜x₁＜1＜x₂＜2等價于

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，
即

2-b＞0 a-2b+2-b＜0 4a-4b+2-b＞0

，
化簡得

2-b＞0 a-3b+2＜0 4a-5b+2＞0

．
此不等式組表示的區(qū)域為平面aOb上三條直線：2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0．
所圍成的△ABC的內(nèi)部，其三個頂點分別為：A(

4

7

，

6

7

)，B(2，2)，C(4，2)．
z在這三點的值依次為

16

7

，6，8．
所以z的取值范圍為(

16

7

，8)．

點評：本題考查學生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，會利用數(shù)形結(jié)合法進行簡單的線性規(guī)劃．在解題時學生應(yīng)注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想解決問題．