Question

如圖，曲線G的方程為y²=2x（ y≥0）．以原點為圓心，以t（t＞0）為半徑的圓分別與曲線G和y軸的正半軸相交于點A與點B．直線AB與x軸相交于點C．
（Ⅰ）求點A的橫坐標a與點C的橫坐標c的關(guān)系式；
（Ⅱ）設(shè)曲線G上點D的橫坐標為a+2，求證：直線CD的斜率為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由點A在圓上得到a²+2a=t²．在利用A，B，C三點在一直線上，把t消去就可得到關(guān)于點A的橫坐標a與點C的橫坐標c的關(guān)系式；
（Ⅱ）由點D的橫坐標為a+2代入曲線G的方程求出點D的坐標，再利用（Ⅰ）找到的點C（c，0），就可求出直線CD的斜率．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，A(a，

2a

)．
因為|OA|=t，所以a²+2a=t²．
由于t＞0，故有t=

a2+2a

．�。�1）
由點B（0，t），C（c，0）的坐標知，
直線BC的方程為

x

c

+

y

t

=1．
又因點A在直線BC上，故有

a

c

+

2a

t

=1，
將（1）代入上式，得

a

c

+

2a

a(a+2)

=1，
解得c=a+2+

2(a+2)

．
（Ⅱ）因為D(a+2，

2(a+2)

)，所以直線CD的斜率為kCD=

2(a+2)

a+2-c

=

2(a+2)

a+2-(a+2+ 2(a+2) )

=

2(a+2)

- 2(a+2)

=-1．
所以直線CD的斜率為定值．

點評：本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標系中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關(guān)系，考查運算能力與思維能力、綜合分析問題的能力．