Question

【題目】如圖，在正四棱錐中，O為頂點(diǎn)S在底面ABCD內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且.

(1)證明:平面PAC.

(2)求直線(xiàn)BC與平面PAC的所成角的大小.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)

【解析】

（1）連接OP，可得，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證出.

（2）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OA所在直線(xiàn)為x軸，OB所在直線(xiàn)為y軸，OS所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面PAC的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積結(jié)合圖形即可求解.

(1)證明:連接OP，因?yàn)?/span>O，P分別為BD和SD的中點(diǎn)，所以，

又平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.

(2)解:如圖，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OA所在直線(xiàn)為x軸，OB所在直線(xiàn)為y軸，

OS所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，

則，，，，

則，，.

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為，

則，，

所以，令，得，

所以

所以

故直線(xiàn)BC與平面PAC的夾角為.