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        1. 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)的和為Sn,滿足(p-1)Sn=p2-an(n∈N*),其中p為正常數(shù),且p≠1.
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)是否存在正整數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí),a1•a4•a7•…•a3n-2>a78恒成立?若存在,求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值;若不存在,請說明理由.
          (3)若p=
          1
          2
          ,設(shè)數(shù)列{bn}對任意n∈N*,都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-
          1
          2
          n-1
          ,問數(shù)列{bn}是不是等差數(shù)列?若是,請求出其通項(xiàng)公式;若不是,請說明理由.
          (1)因?yàn)?span mathtag="math" >(p-1)Sn=p2-an,所以當(dāng)n≥2時(shí),(p-1)Sn-1=p2-an-1,
          兩式相減得(p-1)an=an-an-1,即pan=an-1,所以
          an
          an-1
          =
          1
          p

          所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為
          1
          p
          ,
          又當(dāng)n=1時(shí),(p-1)s1=p2-a1,即(p-1)a1=p2-a1,所以pa1=p2
          因?yàn)閜>0,所以a1=p,
          所以{an}的通項(xiàng)公式為:an=p•(
          1
          p
          )n-1
          =(
          1
          p
          )n-2
          ;
          (2)由(1)知,a1•a4•a7•…•a3n-2=p•(
          1
          p
          )
          2
          (
          1
          p
          )
          5
          •…•(
          1
          p
          )
          3n-4
          =(
          1
          p
          )
          n(3n-5)
          2
          ,a78=(
          1
          p
          )
          76
          ,
          ∴a1•a4•a7•…•a3n-2>a78恒成立,等價(jià)于(
          1
          p
          )
          n(3n-5)
          2
          (
          1
          p
          )
          76

          p為正常數(shù),且p≠1,所以當(dāng)0<p<1時(shí),
          1
          p
          >1,∴
          n(3n-5)
          2
          >76
          ,解得n<-
          19
          3
          或n>8,
          故存在最小值為8的M,使得a1•a4•a7•…•a3n-2>a78恒成立;
          當(dāng)p>1時(shí),0<
          1
          p
          <1,所以
          n(3n-5)
          2
          <76
          ,解得-
          19
          3
          <n<8,不合題意,
          綜合可得:當(dāng)0<p<1時(shí),所求M的最小值為8;
          (3)p=
          1
          2
          時(shí),an=2n-2,設(shè)存在數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其通項(xiàng)為bn=kn+b,則
          ∵b1•2n-2+b2•2n-3+…+bn-1+bn2-1=2n-
          1
          2
          n-1
          ,
          ∴b1•2n-1+b2•2n-2+…+2bn-1+bn=2n+1-n-2,
          兩式相減可得b1•2n-1+k(2n-2+2n-3+…+1)-
          1
          2
          bn=2n-
          n
          2
          -1

          (k+
          b
          2
          )•2n-
          k
          2
          n-(k+
          b
          2
          )
          =2n-
          n
          2
          -1

          k+
          b
          2
          =1
          k=1

          ∴k=1,b=0
          ∴bn=n,
          即存在數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,其通項(xiàng)為bn=n,對任意n∈N*,都有b1an+b2an-1+b3an-2+…+bn-1a2+bna1=2n-
          1
          2
          n-1
          ,
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          2n
          3n+1
          (n∈N*,n≤8)
          ,則下列各數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?如果不是,為什么?(1)
          3
          5
          (2)
          11
          17

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          [  ]
          A.

          8

          B.

          16

          C.

          32

          D.

          36

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          1. A.
            8
          2. B.
            16
          3. C.
            32
          4. D.
            36

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