Question

若f（x）=1-2a-2acosx+2cos²x（

π

3

≤x＜

4π

3

）的最小值為g（a）．
（1）求g（a）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)g（a）=1時(shí)，求a的值，并求此時(shí)f（x）的最大值和取得最大值時(shí)的x的值集合．

Answer 1

分析：（1）設(shè)t=cosx，可得-1≤t≤1，函數(shù)f（x）化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f（x）在[-1，

1

2

]上的最小值．
（2）當(dāng)g（a）=1時(shí)，由題意可得-

a2

2

-2a+1=1，且-2＜a≤1，求得a的值，再根據(jù)f（x）的解析式求得此時(shí)f（x）的最大值和取得最大值時(shí)的x的值集合．

解答：解：（1）設(shè)t=cosx，f(x)=2t2-2at-2a+1=2(t-

a

2

)2-

a2

2

-2a+1，t∈[-1，

1

2

]．
①當(dāng)

a

2

≤-1時(shí)，即a≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，

1

2

]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（-1）=3．
②當(dāng)-1＜

a

2

≤-

1

2

時(shí)，即-2＜a≤1時(shí)，f(x)min=-

a2

2

-2a+1．
③當(dāng)

a

2

＞1時(shí)，即 a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，

1

2

]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（

1

2

）=

3

2

-3a，
綜上可得，g（a）=

3 ，a≤-2 - a2 2 -2a+1 ，-2＜a≤1 3 2 -3a ，a＞1

．
（2）當(dāng)g（a）=1時(shí)，由題意可得-

a2

2

-2a+1=1，-2＜a≤1，求得a=0．
故有 f(x)=2cos2x+1=2t2+1(-1≤t≤

1

2

)?f(x)max=3，
此時(shí)cosx=-1，解得x=π+2kπ（k∈Z），
因此取得最大值時(shí)的x的值集合為{x|x=π+2kπ（k∈Z）}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，余弦函數(shù)的定義域和值域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．