Question

已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，數(shù)列是等差數(shù)列，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為．
（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，求滿足
的正整數(shù)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

，符合要求的一共有5個(gè)

解：（1）若，因?yàn)?，6，7 ，則5，6，7，
由此可見，等差數(shù)列的公差為1，而3是數(shù)列中的項(xiàng)，
所以3只可能是數(shù)列中的第1，2，3項(xiàng)，
若，則，若，則，
若，則；
（2）首先對(duì)元素2進(jìn)行分類討論：
①若2是數(shù)列的第2項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得
，這顯然不可能；
②若2是數(shù)列的第3項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，
因?yàn)閿?shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的，
所以，則，因此數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，，2，，4，
這樣，
則數(shù)列的前9項(xiàng)分別為1，，2，，4，，，，8，
上述數(shù)列符合要求；
③若2是數(shù)列的第項(xiàng)（），則，
即數(shù)列的公差，
所以，1，2，4<，所以1，2，4在數(shù)列的
前8項(xiàng)中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項(xiàng)，
它們均小于8，
即數(shù)列的前9項(xiàng)均小于8，這與矛盾。
綜上所述，，
其次，當(dāng)時(shí)，，
，，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823123805709265.gif" style="vertical-align:middle;" />是公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
此時(shí)的不符合要求。所以符合要求的一共有5個(gè)