Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，點(1，-

3

2

)為橢圓上的一點，O為坐標原．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=kx+m為圓x2+y2=

4

5

的切線，直線l交橢圓于A、B兩點，求證：∠AOB為直角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率，以及點(1，-

3

2

)為橢圓上的一點，適合橢圓方程，解出a、b、c，得到橢圓的方程．
（Ⅱ）y=kx+m和橢圓方程聯(lián)立，用韋達定理求得A、B兩點橫坐標之積，縱坐標之積，
借助直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，A、B兩點橫坐標之積加上縱坐標之積驗證為0即可．

解答：解：（Ⅰ）依題可得：

e= c a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

?a=2，b=1，c=

3

所以橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1（4分）
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
x₁+x₂=

-8km

1+4k2

，x₁•x₂=

4m2-4

1+4k2

，
又

OA

•

OB

=x1•x2+y1y2
=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（k²+1）

4m2-4

1+4k2

+km

-8km

1+4k2

+m²
=

5m2-4k2-4

1+4k2

，
∵直線l與圓x2+y2=

4

5

相切，
∴原點O到直線l的距離為：

|m|

1+k2

=

2 5

5

∴5m²=4k²+4
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0
∴∠AOB為直角．

點評：本小題主要考查直線、圓、橢圓、直線與圓錐曲線的位置關系等基本知識．考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．