Question

【題目】設(shè)f（x）=alnx+ + x+1，其中a∈R，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：求導(dǎo)函數(shù)可得

∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸．

∴f′（1）=0，∴ ，

∴a=﹣1；

（2）

解：由（1）知， （x＞0）

=

令f′（x）=0，可得x=1或x= （舍去）

∵0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)遞減；x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)遞增

∴x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值為3

【解析】（1） 求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于y軸，可得f′（1）=0，從而可求a的值；（2） 由（1）知， （x＞0）， = ，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的極值．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．