Question

國慶前夕，我國具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的“人甲型H1N1流感病毒核酸檢測(cè)試劑盒”（簡稱試劑盒）在上海進(jìn)行批量生產(chǎn)，這種“試劑盒”不僅成本低操作簡單，而且可以準(zhǔn)確診斷出“甲流感”病情，為甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障．某醫(yī)院在得到“試劑盒”的第一時(shí)間，特別選擇了知道診斷結(jié)論的5位發(fā)熱病人（其中“甲流感”患者只占少數(shù)），對(duì)病情做了一次驗(yàn)證性檢測(cè)．已知如果任意抽檢2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率為

2

5

．
（I）求出這5位發(fā)熱病人中“甲流感”患者的人數(shù)；
（II）若用“試劑盒”逐個(gè)檢測(cè)這5位發(fā)熱病人，直到能確定“甲流感”患者為止，設(shè)ξ表示檢測(cè)次數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)有x人患“甲流感”，由題意得

C 1 x • C 1 5-x

C 2 5

=

2

5

，由此能求出這5位發(fā)熱病人中“甲流感”患者的人數(shù)．
（2）由題設(shè)知ξ=1，2，3，4，P(ξ=1)=

1

A 1 5

=

1

5

，P(ξ=2)=

A 1 4

A 2 5

=

1

5

，P(ξ=3)=

A 2 4

A 3 5

=

1

5

，P(ξ=4)=

A 3 4 + A 4 4

A 4 5

=

2

5

．由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（1）設(shè)有x人患“甲流感”，
則由題意有

C 1 x • C 1 5-x

C 2 5

=

2

5

，…（3分）
解得 x=1或x=4（舍）．
∴這5位發(fā)熱病人中有1人患“甲流感”．…（5分）
（2）由題設(shè)知ξ=1，2，3，4，
則P(ξ=1)=

1

A 1 5

=

1

5

，
P(ξ=2)=

A 1 4

A 2 5

=

1

5

，
P(ξ=3)=

A 2 4

A 3 5

=

1

5

，
P(ξ=4)=

A 3 4 + A 4 4

A 4 5

=

2

5

．
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 5	1 5	1 5	2 5

…（10分）
∴Eξ=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

1

5

+4×

2

5

=2.8．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．