Question

已知直線y=a與曲線y=x³-3x+1有三個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．[-1，3]
B．（-∞，+∞）
C．（-3，1）
D．（-1，3）

Answer 1

【答案】分析：先將兩曲線有三個(gè)交點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值，列不等式即可得a的范圍
解答：解：直線y=a與曲線y=x³-3x+1有三個(gè)交點(diǎn)即函數(shù)f（x）=x³-3x+1-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)
∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴x=-1時(shí)，函數(shù)取極大值f（-1）=3-a，x=1時(shí)，函數(shù)取極小值f（1）=-1-a
要使函數(shù)f（x）=x³-3x+1-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)
只需即
∴-1＜a＜3
故選 D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)與圖象交點(diǎn)間的關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化，三次函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用