Question

已知a、b為常數(shù)，且a≠0，y=f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在實(shí)數(shù)m、n，（m＜n）使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]？

Answer 1

分析：（1）由于方程f（x）=x有等根，所以可求b=1，利用f（2）=0可求a=-

1

2

，故函數(shù)解析式可求；
（2）利用函數(shù)的最大值可知f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，從而可建立方程組，故滿足條件的m，n存在．

解答：解：（1）∵方程ax²+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）²=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a=-

1

2

，∴f（x）的解析式為f(X)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

；
（2）∵f(X)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
若滿足題設(shè)條件的m，n存在，則

f(m)=2m f(n)=2n

，∴

m=-2 n=0

即這時(shí)定義域?yàn)閇-2，0]，值域?yàn)閇-4，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，還考查了二次函數(shù)解析式的運(yùn)用以，涉及分類討論，轉(zhuǎn)化思想．