Question

已知a、b為常數，且a≠0，函數f（x）=

x

ax+b

，且f（3）=1，又方程f（x）=x有唯一解．
（I）求f（x）的解析式及方程f（x）=x的解；
（Ⅱ）當x_n=f（x_n-1）（n＞1），數列{

1

xn

}是何數列？請說明理由．

Answer 1

分析：（I）將方程f（x）=x進行等價變形，利用根的判別式△═0，解得b=1．再由f（3）=1，解出a=

2

3

，可得
f（x）的解析式，進而求出方程f（x）=x的解；
（II）由（I）的解析式，得x_n=f（x_n-1）即xn=

3xn-1

2xn-1+3

，變形整理得

1

xn

-

1

xn-1

=

2

3

（n＞1）．由此可得
{

1

xn

}構成公差為

2

3

的等差數列．

解答：解：（I）∵f（x）=x有唯一解，即

x

ax+b

=x有唯一解
∴有

x=ax2+bx ax+b≠0

，即

ax2+(b-1)x=0 ax+b≠0

滿足△=（b-1）²-4a•0=0，解之得b=1．  …（2分）
又∵f（3）=1，得3=3a+1．
∴a=

2

3

可得f(x)=

3x

2x+3

．…（3分）
由

3x

2x+3

=x，解得方程f（x）=x的解為x=0． …（4分）
（II）由x_n=f（x_n-1）（n＞1），得
xn=

3xn-1

2xn-1+3

，可得

1

xn

=

2xn-1+3

3xn-1

=

2

3

+

1

xn-1

…（6分）
∴

1

xn

-

1

xn-1

=

2

3

（n＞1）．
即當n＞1時，{

1

xn

}構成公差為

2

3

的等差數列．  …（8分）

點評：本題給出分式函數，在已知f（3）=1且f（x）=x有等根的情況下求函數的解析式，并證明{

1

xn

}構成等差數列．著重考查了用一元二次方程根的判別式處理分式函數問題和等等差數列的通項與定義等知識，屬于中檔題．