Question

拋物線y²=2px的焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)為M，A、B、M在準(zhǔn)線上的射影依次為C、D、N．
求證：
（1）A、O、D三點(diǎn)共線，B、O、C三點(diǎn)共線；
（2）FN⊥AB（F為拋物線的焦點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中點(diǎn)M（x₀，y₀），將焦點(diǎn)弦AB的直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線斜率的關(guān)系即可證得A、O、D三點(diǎn)共線．同理可證B、O、C三點(diǎn)共線，從而解決問題．
（2）先利用斜率公式得出k_FN=

y0

-p

，再分類討論：當(dāng)x₁=x₂時(shí)，顯然FN⊥AB；當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，證出k_FN•k_AB=-1．從而知FN⊥AB成立．

解答：證明：（1）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中點(diǎn)M（x₀，y₀），焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（

p

2

，0）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

得ky²-2py-kp²=0．
∴A、B、M在準(zhǔn)線上的射影依次為C、D、N，
∴C（-

p

2

，y₁）、D（-

p

2

，y₂）、N（-

p

2

，y₀）．
∵kOA=

y1

x1

=

y1

y12 2p

=

2p

y1

，kOD=

y2

- p 2

，
由ky²-2py-kp²=0
得y₁y₂=

-kp2

k

=-p²，
∴k_OA=k_OD，∴A、O、D三點(diǎn)共線．同理可證B、O、C三點(diǎn)共線．----（6分）
（2）k_FN=

y0

-p

，當(dāng)x₁=x₂時(shí)，顯然FN⊥AB；
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

1 2p (y22-y12)

=

2p

y1+y2

=

p

y0

，
∴k_FN•k_AB=-1．
∴FN⊥AB．綜上所述知FN⊥AB成立．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線過焦點(diǎn)的弦在準(zhǔn)線上的射影，求證三點(diǎn)共線及線線垂直，著重考查了用解析幾何理解拋物線的定義的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．