Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x2

+|x2-a|（常數(shù)a∈R⁺）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）試研究函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先要考慮函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義即可獲得問(wèn)題的解答；
（Ⅱ）首先將絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分類討論不同段上的函數(shù)單調(diào)性即可，討論時(shí)用定義法即可．

解答：解：（1）定義域?yàn)椋海?∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=

1

(-x)2

+|(-x)2-a|=

1

x2

+|x2-a|=f(x)，
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）f（x）=

1 x2 +x2-a(x≤- a 或x≥ a ) 1 x2 -x2+a(- a ＜x＜ a )

（a∈R⁺）
1⁰若x≤-

a

或x≥

a

，則f（x）=

1

x2

+x2-a，設(shè)

a

≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=

1

x 2 1

+

x

2 1

-

1

x 2 2

-

x

2 2

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(

1

x 2 1 x 2 2

-1)
由

a

≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²?

1

x 2 1 x 2 2

≤

1

a2

且x₂²-x₁²＞0，
當(dāng)

1

a2

＜1?a 時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[

a

，+∞)上是增函數(shù)；
又f（x）是偶函數(shù)，f（x）在(-∞，-

a

]上是減函數(shù)．
當(dāng)

1

a2

≥1?0＜a≤1時(shí)，

a

≤x1＜x2≤1時(shí)，

1

x 2 1 x 2 2

＞1?f(x1)＞f(x2)，1≤x₁＜x₂時(shí)，

1

x 2 1 x 2 2

＜1?f(x1)＜f(x2)．
∴f（x）在[

a

，1]上是減函數(shù)，
在[1，+∞）上是增函數(shù)；
又f（x）是偶函數(shù)，在[-1，-

a

]上是增函數(shù)，
在（-∞，-1]上是減函數(shù)．
2⁰若-

a

≤x≤

a

(x≠0)，則f（x）=

1

x2

-x2+a，
設(shè)-

a

≤x1＜x2≤

a

，同理∴f（x）在(0，

a

]上是減函數(shù)，
又f（x）是偶函數(shù)，于是f（x）在[-

a

，0)上是增函數(shù)．
由1⁰2⁰知：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，
在[1，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，-1]上是減函數(shù)，在[-1，0）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)，
在(-∞，-

a

]上是減函數(shù)，在[-

a

，0)上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性判斷與證明的問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義、分類討論的思想以及問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．