Question

如右圖所示，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M為AA₁的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到M的最短路線長(zhǎng)為,設(shè)這條最短路線與CC₁的交點(diǎn)為N.求：

(1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

(2)PC和NC的長(zhǎng).

Answer 1

(1)其對(duì)角線長(zhǎng)為

.

(2) PC=P₁C=2,

NC=.

解析:

(1)正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線長(zhǎng)為

.

(2)如右圖所示，將側(cè)面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁的位置，連結(jié)MP₁，則MP₁就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到點(diǎn)M的最短路線.

設(shè)PC=x，則P₁C=x.

在Rt△MAP₁中,

由勾股定理得(3+x)²+2²=29,

求得x=2.∴PC=P₁C=2,

∵,∴NC=.