Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，將曲線（為參數(shù)）上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）已知點(diǎn)，直線的極坐標(biāo)方程為，它與曲線的交點(diǎn)為， ，與曲線的交點(diǎn)為，求的面積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意中的相關(guān)坐標(biāo)變換，可得到曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)能求出曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)公式，可得到曲線的極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)， 的極坐標(biāo)，由直線與曲線相交可得到點(diǎn)的極坐標(biāo)，進(jìn)而可求出的面積.

試題解析：（Ⅰ）由題意知，曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，

∴曲線的普通方程為，

∴曲線的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)， 的極坐標(biāo)分別為， ，

則由可得的極坐標(biāo)為，

由可得的極坐標(biāo)為．

∵，∴，

又到直線的距離為，

∴．