Question

（2008•武漢模擬）（1）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-

ax

x+1

（其中a為常數(shù)），求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：不等式

1

ln(x+1)

-

1

x

＜

1

2

在0＜x＜1上恒成立．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，討論a的正負(fù)，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）用分析法進(jìn)行證明，要證明：

1

ln(1+x)

-

1

x

＜

1

2

在（0，1）上成立，只需證：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0，在（0，1）上恒成立，設(shè)g(x)=

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答：解：（1）由f(x)=ln(1+x)-a(1-

1

x+1

)知定義域：{x|x＞-1}
對f（x）求導(dǎo)得：f′(x)=

1

1+x

-

a

(x+1)2

=

x+1-a

(x+1)2

①在a≤0時(shí)，有x+1-a＞0恒成立．故f（x）＞0
故此時(shí)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增
②在a＞0時(shí)，由f'（x）=0知x=a-1

x	（-1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

故在a＞0時(shí)，f（x）在（-1，a-1）上為減函數(shù)，在[a-1，+∞）上為增函數(shù)．
因此函數(shù)在a≤0時(shí)，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；在a＞0時(shí)，f（x）在（-1，a-1）上為減函數(shù)，在[a-1，+∞）上為增函數(shù)．…（5分）
（2）要證明：

1

ln(1+x)

-

1

x

＜

1

2

在（0，1）上成立．
只需證：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0，在（0，1）上恒成立
設(shè)g(x)=

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x
則g′(x)=

1

2

(ln(1+x)+x.

1

1+x

)+

1

x+1

-1=

1

2

(ln(1+x)-

x

1+x

)
由（1）可知a=1，f（x）在x=0時(shí)取到最小值
有ln(1+x)＞

x

1+x

，在x＞0時(shí)恒成立．
從而可知g'（x）＞0，故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)∴g（x）＞g（0）=0
即：

x

2

ln(1+x)+ln(1+x)-x＞0恒成立，從而原不等式得證．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．