【題目】設(shè)函數(shù),
,其中
恒不為0.
(1)設(shè),求函數(shù)
在x=1處的切線方程;
(2)若是函數(shù)
與
的公共極值點(diǎn),求證:
存在且唯一;
(3)設(shè),是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得
在(0,
)上恒成立?若存在,請求出實(shí)數(shù)a,b滿足的條件;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在;a=0,b≠0符合題意
【解析】
(1)根據(jù),得到
,求導(dǎo)
,得到
,
,寫出切線方程.
(2)根據(jù)是函數(shù)
與
的公共極值點(diǎn),則有
,解得
,令
,用導(dǎo)數(shù)法研究只有一個零點(diǎn)即可.
(3)根據(jù)在
上無零點(diǎn),分當(dāng)a=0,b≠0,
,
三種情況討論求解.
(1)因?yàn)?/span>,
所以,
,
,
,
故在x=1處的切線方程為:;
(2),
,
由題意知,解得
,
令,x>0,
,
時,
;
時,
,
故在
遞減,
遞增,
又時,
,故
在(0,1)上無零點(diǎn),
,
,故
,
又在
遞增,因此,
在(1,e)上存在唯一零點(diǎn),
∴存在且唯一;
(3)由題意知:在
上無零點(diǎn)
當(dāng)a=0時,則b≠0,,符合題意;
又,則b(a+b)>0,故b≠0.
當(dāng)a≠0時,要使在
上無零點(diǎn),顯然ab>0
在
上恒成立,
即在
上恒成立,
令,
,
,
時,
時,
,
時,
,
,故
,
因此,時,
,與題意不符,舍去;
時,
時,
,
時,
,
,故
,
因此,時,
,與題意不符,舍去;
綜上,存在a=0,b≠0符合題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面
是平行四邊形,側(cè)面
是邊長為2的正三角形,
,
.
(Ⅰ)求證:平面平面
;
(Ⅱ)設(shè)是棱
上的點(diǎn),當(dāng)
平面
時,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)有編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個小球和編號為1,2,3,4,5,6,7,8的八個盒子.現(xiàn)將這八個小球隨機(jī)放入八個盒子內(nèi),要求每個盒子內(nèi)放一個球,要求編號為偶數(shù)的小球在編號為偶數(shù)的盒子內(nèi),且至少有四個小球在相同編號的盒子內(nèi),則一共有______種投放方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓Q:(x+2)2+(y-2)2=1,拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),過F且與l垂直的直線l'與圓Q有交點(diǎn).
(1)求直線l'的斜率的取值范圍;
(2)求△AOB面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若=(
,
),
=(
,
),設(shè)
.
(1)求函數(shù)在[0,π]上的單調(diào)減區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,
,求sinB的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某印刷廠為了研究印刷單冊書籍的成本(單位:元)與印刷冊數(shù)
(單位:千冊)之間的關(guān)系,在印制某種書籍時進(jìn)行了統(tǒng)計,相關(guān)數(shù)據(jù)見下表.
印刷冊數(shù) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
單冊成本 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到了兩個回歸方程,方程甲:,方程乙:
.
(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù).
(i)完成下表(計算結(jié)果精確到0.1);
印刷冊數(shù) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
單冊成本 | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘差 | 0.1 | 0 | 0 |
(ii)分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和和
,并通過比較
,
的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.
(2)該書上市之后,受到廣大讀者熱烈歡迎,不久便全部售罄,于是印刷廠決定進(jìn)行二次印刷.根據(jù)市場調(diào)查,新需求量為10千冊,若印刷廠以每冊5元的價格將書籍出售給訂貨商,試估計印刷廠二次印刷獲得的利潤.(按(1)中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為
,左、右焦點(diǎn)分別為
、
,上頂點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
,且
、
、
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓的離心率;
(2)判斷的形狀,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.
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