Question

定義域在R的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（3）=6，
（ I）求f（0），f（1）；
（ II）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（ III）若對(duì)于任意都有f（kx²）+f（2x-1）＜0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）取x=0代入函數(shù)滿足的等式，整理可得f（0）=0．再根據(jù)3=1+2=1+1+1，結(jié)合定義和f（3）=6，算出f（1）=2；
（II）以-x取代y，代入函數(shù)滿足的等式，可得f（x）+f（-x）=0，由此可得f（x）是奇函數(shù)；
（III）根據(jù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)且f（0）＜f（1），得f（x）是定義域在R上的增函數(shù)．再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，將題中不等式轉(zhuǎn)化為kx²＜1-2x在上恒成立，最后采用變量分離的方法結(jié)合換元法求函數(shù)的最小值，可算出k的取值范圍．
解答：解：（ I）取x=0，得f（0+y）=f（0）+f（y），
即f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0，
∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）
∴結(jié)合f（3）=6，得3f（1）=6，可得f（1）=2；
（II）取y=-x，得f（0）=f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=0
移項(xiàng)得f（-x）=-f（x）
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（III）∵f（x）是奇函數(shù)，且f（kx²）+f（2x-1）＜0在上恒成立，
∴f（kx²）＜f（1-2x）在上恒成立，
又∵f（x）是定義域在R的單調(diào)函數(shù)，且f（0）=0＜f（1）=2，
∴f（x）是定義域在R上的增函數(shù)．
∴kx²＜1-2x在上恒成立．
∴在上恒成立．
令，
由于，∴．
∴g（x）_min=g（1）=-1．∴k＜-1．
則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，求特殊的函數(shù)值并討論函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查了抽象函數(shù)的理解與處理、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性和不等式恒成立問題的處理等知識(shí)，屬于中檔題．