Question

（2012•東城區(qū)模擬）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=

1

2

AD，E是線段AB的中點(diǎn)．
（1）求證：PE⊥CD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）試問線段PB上是否存在點(diǎn)F，使二面角C-DE-F的余弦值為

1

4

？若存在，確定點(diǎn)F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得AD⊥PE，利用等邊三角形的性質(zhì)可得：PE⊥AB．利用線面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．利用線面垂直的性質(zhì)即可得出；
（2）利用（1）可知：PE是四棱錐P-ABCD的高．再利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出；
（3）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（1）證明：因?yàn)锳D⊥側(cè)面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．
又因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，E是線段AB的中點(diǎn)，
所以PE⊥AB．
因?yàn)锳D∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
而CD?平面ABCD，所以PE⊥CD．                    
（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱錐P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=

1

2

AD，可得BC=1．
因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，可求得PE=

3

．
所以VP-ABCD=

1

3

SABCD•PE=

1

3

×

1

2

(1+2)×2×

3

=

3

．
（3）解：以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz．則A（0，1，0），E（0，0，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，

3

）．
設(shè)F(x0，y0，z0)，

PF

=λ

PB

，
則(x0，y0，z0-

3

)=λ(0，-1，-

3

)所以F(0，-λ，

3

-

3

λ)．
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面DEF的法向量，

ED

=(2，1，0)，

EF

=(0，-λ，

3

-

3

λ)，

ED • n =2x+y=0 EF • n =-λy+( 3 - 3 λ)z=0

所以

x=1 y=-2 z= 2λ 3 (λ-1) .

所以

n

=(1，-2，

2λ

3 (λ-1)

)．
設(shè)平面CDE的法向量為

m

=（0，0，1）．
所以| cos?

.

m

，

.

n

＞ |=

|  2λ 3 (λ-1)  |

1+4+[ 2λ 3 (λ-1) ]2

=

1

4

．
化簡得3λ²+2λ-1=0．
解得λ=-1(舍)或λ=

1

3

．
所以存在點(diǎn)F，且PF=

1

3

PB．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角公式求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．