Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）設(shè)函數(shù)()，討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)直線為函數(shù)的圖像上一點(diǎn)處的切線，試探究：在區(qū)間上是否存在唯一的，使得直線與曲線相切.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn).（2）存在，答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，根據(jù)的符號(hào)，分類(lèi)討論，即可求解；

（2）由，求得切線的方程，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由，說(shuō)明的方程也是，再證明在區(qū)間上存在且唯一即可.

（1）由題意，函數(shù)，

可得()，令.，

①當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0

②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

③當(dāng)時(shí)，，設(shè)，是的兩根，則，，故，，此時(shí)在上有兩個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)

（2）因?yàn)?/span>，可得，

所以切線的方程為，即

設(shè)直線與曲線相切于，∵，∴即，

∴，

∴直線的方程也為，即，

∴，即.

下證：在區(qū)間上存在且唯一，設(shè)()，

，則在上單調(diào)遞增.

又，，

由零點(diǎn)存在性定理知：存在，使得，即.

故在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切.