Question

【題目】已知曲線上的動點滿足到點的距離比到直線的距離小1．

（1）求曲線的方程；

（2）動點在直線上，過點分別作曲線的切線，切點為．直線是否恒過定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y；（2）直線AB過定點（0，2）.

【解析】試題分析：（1）由已知動點滿足到點的距離比到直線的距離小1，可得：動點滿足到點的距離與到直線的距離相等．利用拋物線的定義可知：點的軌跡是拋物線；（2）設(shè)，設(shè)切線的切點為，由得，利用導(dǎo)數(shù)可得，利用向量計算公式即可得出，解出，即可得出切點， ，進(jìn)而得到切線方程.

試題解析：(1)因為動點滿足到點的距離比到直線的距離小1,所以動點滿足到點的距離與直線的距離相等.

所以曲線是以為焦點為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程是: .

(2)設(shè),切點為,由得,所以,所以,解得: ,所以,

,化簡直線方程得: ，

所以直線恒過定點.