Question

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（）.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的表達(dá)式，并加以證明。

Answer 1

（1）,,,; （2）猜想（）,證明見解析.

試題分析：（1）由條件，當(dāng)時，有，解得，同理當(dāng)分別取2，3，4可得，，的值；（2）由（1）中前四項(xiàng)的值可猜想,由得，兩式相減并化為，則是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，可得的通項(xiàng)公式.
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054513337641.png" style="vertical-align:middle;" />，，            （1分）
所以，當(dāng)時，有，解得；                （2分）
當(dāng)時，有，解得；             （3分）
當(dāng)時，有，解得；         （4分）
當(dāng)時，有，解得．（5分）
（2）猜想（）                                   （9分）
方法一：
由（），得（），          （10分）
兩式相減，得，即（）．（11分）
兩邊減2，得，                                   （12分）
所以{}是以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
故，                                          （13分）
即（）． （14分）
方法二：
①當(dāng)n=1時，由（1）可知猜想顯然成立；                           （10分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時，猜想成立，即，                      （11分）
由（），得，
兩式相減，得，                                 （12分）
所以，
即當(dāng)n=k+1時，猜想也成立．  （13分）
根據(jù)①和②，知對任意，猜想成立．（14分）