Question

（2008•宣武區(qū)一模）在面積為9的△ABC中，tan∠BAC=-

4

3

，且

CD

=2

DB

．現(xiàn)建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以∠BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
（1）求AB、AC所在的直線方程；
（2）求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點(diǎn)D的雙曲線的方程；
（3）過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE（E、F為垂足），求

DE

•

DF

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AC的傾斜角為α，則可得直線AB的傾斜角為π-α，由題意可得，tan2α=

2 tanα

1-tan2α

=-

4

3

，從而可直線AC與AB的斜率，進(jìn)而可求直線方程
（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程可以設(shè)為4x²-y²=λ（λ≠0）．由

CD

=2

DB

可得得D代入雙曲線方程可得點(diǎn)D，結(jié)合△ABC的面積為9可求λ即可
（3）設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角與角的聯(lián)系，由向量數(shù)量積的定義求解即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AC的傾斜角為α，則可得直線AB的傾斜角為π-α
由題意可得，tan2α=

2 tanα

1-tan2α

=-

4

3

tanα=2或tanα=-

1

2

(舍)
K_AC=2K_AB=-2
直線AC與AB的方程分別為y=2x，y=-2x
（2）由（1）可設(shè)雙曲線的方程可以設(shè)為4x²-y²=λ（λ≠0）．
設(shè)B（x₁，-2x₁），C（x₂，-2x₂），由

CD

=2

DB

得 D(

2x1+x2

3

，

-4x1+2x2

3

)  
所以4(

2x1+x2

3

)2-(

-4x1+2x2

3

)2=λ 即

32

9

x1x2=λ
由 tan2α=-

4

3

，得 sin2α=

4

5

又∵|AB|=

5

|x₁|，|AC|=

5

|x2|
∴S△ABC=

1

2

|AB|•|AC|sinA=

1

2

×5x₁x₂•sin2α=9，
即 x1x2=

9

2

，代入等式（*），得λ=16．
所以，雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

16

=1
（2）由題設(shè)可知＜

DE

，

DF

＞=π-2α，所以 cos?＜

DE

，

DF

＞=cos(π-2α)=

3

5

．
設(shè)點(diǎn)D（x₀，y₀），
則

x 2 0

4

-

y02

16

=1，
于是，點(diǎn)D到AB，AC所在的直線的距離是DE=

|2x0-y0|

5

，DF=

|2x0+y0|

5

DE

•

DF

=|DE|•|DF|•

3

5

=

|2x0-y0|

5

•

|2x0+y0|

5

•

3

5

=

48

25

點(diǎn)評(píng)：本題考查求雙曲線的方程、雙曲線的漸近線等知識(shí)，以及平面向量、三角等，綜合性較強(qiáng)，考查利用所學(xué)知識(shí)綜合處理問題的能力．