Question

如圖3，已知二面角的大小為，菱形在面內(nèi)，兩點(diǎn)在棱上，，是的中點(diǎn)，面，垂足為.
(1)證明：平面；
(2)求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

(1)詳見解析  (2)

解析試題分析:(1)題目已知,利用線面垂直的性質(zhì)可得,已知角和,利用余弦定理即可說明,即垂直于面內(nèi)兩條相交的直線,根據(jù)線面垂直的判斷即可得到直線垂直于面.
(2)菱形為菱形可得,則與所成角與角大小相等,即求角的余弦值即可,利用菱形所有邊相等和一個(gè)角為即可求的的長(zhǎng)度,根據(jù)(1)可得面,即角為二面角的平面角為,結(jié)合為直角三角形與的長(zhǎng)度,即可求的長(zhǎng)度,再直角中,已知,利用直角三角形中余弦的定義即可求的角的余弦值,進(jìn)而得到異面直線夾角的余弦值.
(1)如圖,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/5/wq3yf4.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以,連接,由題可知是正三角形,又是的中點(diǎn),所以,而,故平面.

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6a/9/1ccbf4.png" style="vertical-align:middle;" />,所以與所成的角等于與所成的角,即是與所成的角,由(1)可知,平面,所以,又,于是是二面角的平面角,從而,不妨設(shè),則,易知,在中,,連接,在中,,所以異面直線與所成角的余弦值為.
考點(diǎn)：異面直線的夾角 二面角 線面垂直