Question

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0），圓F₂：（x-1）²+y²=1，一動圓在y軸右側與y軸相切，同時與圓F₂相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓．
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與曲線E相交于第一象限點P，且，求曲線E的標準方程；
（3）在（1）、（2）的條件下，直線l與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0），由動圓在y軸右側與y軸相切，同時與圓F₂相外切，知|CF₂|-x=1，由此能求出曲線C的方程．
（2）依題意，c=1，，得，由此能求出曲線E的標準方程．
（3）設直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點M的坐標為（x，y），將A，B的坐標代入橢圓方程中，得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能夠求出直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（1）設動圓圓心的坐標為（x，y）（x＞0）
因為動圓在y軸右側與y軸相切，同時與圓F₂相外切，
所以|CF₂|-x=1，…（1分）
∴，
化簡整理得y²=4x，曲線C的方程為y²=4x（x＞0）； …（3分）
（2）依題意，c=1，，
得，…（4分）
∴，
又由橢圓定義得．…（5分）
∴b²=a²-c²=3，所以曲線E的標準方程為．…（6分）
（3）設直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
A，B的中點M的坐標為（x，y），
將A，B的坐標代入橢圓方程中，
得，
兩式相減得3（x₁-x₂）（x₁+x₂）+4（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∴，…（7分）
∵，
∴直線AB的斜率，…（8分）
由（2）知，
∴，∴
由題設，
∴，…（10分）
即（k≠0）．…（12分）
點評：本題考查曲線方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意點差法和等價轉化思想的合理運用．