Question

若函數(shù)y=f（x）既是一次函數(shù)，又是奇函數(shù)，在（-∞，+∞）上又是增函數(shù)，且有f[f（x）]=4x，求函數(shù)y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)類型利用待定系數(shù)法進行求解，然后根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求出參數(shù)即可．

解答：解：∵函數(shù)y=f（x）是一次函數(shù)，
∴可設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），…（2分）
∵函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0∴b=0…（4分）
（或f（-x）=-f（x），
∴-ax+b=-ax-b，∴b=0）
∴f（x）=ax，（a≠0）…（5分）
則f[f（x）]=a（ax）=a²x，…（8分）
∵f[f（x）]=4x，
∴a²=4，
解得a=2或a=-2，…（10分）
又f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）=2x…（12分）

點評：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，同時考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．