Question

給定四個命題：
①若f（x）在R上遞增，且f（1）f（3）＜0，則方程f（x）=0在（1，3）內有唯一的實數根．
②若f（x）在其定義域內可導，且導函數f'（x）是奇函數，則f（x）是偶函數．
③若函數f（x）在[1，4]上連續(xù)，則f（x）在[1，4]上必有最大值與最小值．
④若函數y=f（x）的圖象既關于點A（1，0）對稱，又關于點B（3，0）對稱，那么f（x）為周期函數．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：對于①若f（x）在R上遞增，且f（1）f（3）＜0，根據零點存在定理可知正確；②若f（x）在其定義域內可導，且導函數f'（x）是奇函數，則其原函數f（x）一定是偶函數；③若函數f（x）在[1，4]上連續(xù)，根據最值定理可得正確；④若f（x）的圖象既關于點A（1，0）對稱，則f（-x）=-f（2+x），由圖象關于點B（3，0）對稱，f（-x）=-f（6+x）可推出f（x）是以4a為周期的函數．

解答：解：①若f（x）在R上遞增，且f（1）f（3）＜0，根據零點存在定理可知，方程f（x）=0在（1，3）內有唯一的實數根．故正確；
②若f（x）在其定義域內可導，且導函數f'（x）是奇函數，則其原函數f（x）一定是偶函數．故正確；
③若函數f（x）在[1，4]上連續(xù)，根據最值定理可得：f（x）在[1，4]上必有最大值與最小值．故正確；
④若f（x）的圖象既關于點A（1，0）對稱，則f（-x）=-f（2+x），
由圖象關于點B（3，0）對稱，f（-x）=-f（6+x），∴f（6+x）=f（2+x）⇒f（4+x）=f（x），
所以f（4a+x）=f（x），f（x）是以4a為周期的函數．故正確．
其中真命題的序號是 ①②③④．
故答案為：①②③④．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、函數的周期性等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．