【題目】已知在區(qū)間
上的值域
.
(1)求的值;
(2)若不等式在
上恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】試題分析:
(1)根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向及對稱軸與區(qū)間
的關系得到函數(shù)的最值后,根據(jù)條件可得
.(2)由已知可得
在
上恒成立,
分離參數(shù)可得在
上恒成立,換元令
,則
,可得
在
上恒成立,構造函數(shù)得到
的最小值為
.(3)由題意可得方程
有三個不同的根,令
,則得
,根據(jù)函數(shù)有3個零點可得方程
有兩個不同的實數(shù)解
,且
,或
.然后根據(jù)方程根的分布得到不等式可得所求范圍.
試題解析:
(1)由題意得,在區(qū)間
上值域
.
①當時,
則的最小值為
,
由,解得
,
∴ ,
此時,滿足在區(qū)間
上值域
.
②當在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
則的最小值為
,
由,解得
,不合題意,舍去.
③當則
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
則的最小值為
,
由,解得
.不合題意,舍去.
綜上.
(2)由已知可得在
上恒成立,
可得化為在
上恒成立,
令,
因,故
,
則在
上恒成立,
記,
,
故在區(qū)間
上單調(diào)遞減,
所以,
故.
所以的取值范圍是
.
(3)由題意得函數(shù)有三個零點,
故方程有三個不同的根,
令,
,
∵,
∴當時,
的范圍
且單調(diào)遞減;
當時
的范圍
且單調(diào)遞增;
當時
,
當時
的范圍
且單調(diào)遞增.
則有兩個不同的實數(shù)解
,
已知函數(shù)3個零點等價于其中,或
.
記,
則 ① 或
②
解不等組①,得,而不等式組②無實數(shù)解,
所以實數(shù)的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,設二次函數(shù)
的圖像與兩坐標軸有三個交點,經(jīng)過這三點的圓記為
(1)求圓的方程;
(2)若過點的直線
與圓
相交,所截得的弦長為4,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求不等式的解集;
(2)函數(shù)若存在
使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)討論函數(shù)
的零點個數(shù)(直接寫出答案,不要求寫出解題過程).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有
------①
------②
由①+② 得------③
令有
代入③得.
(Ⅰ)類比上述推證方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:
;
(Ⅱ)若的三個內(nèi)角
滿足
,試判斷
的形狀.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分別是AC、AD上的動點,且 =λ(0<λ<1).
(Ⅰ)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)當λ為何值時,平面BEF⊥平面ACD?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線 在點
處的切線方程;
(Ⅱ)若 對
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)求整數(shù) 的值,使函數(shù)
在區(qū)間
上有零點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知中心在坐標原點的橢圓 的長軸的一個端點是拋物線
的焦點,且橢圓
的離心率是
.
(1)求橢圓 的方程;
(2)過點 的動直線與橢圓
相交于
兩點.若線段
的中點的橫坐標是
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=sin(ωx﹣ )+sin(ωx﹣
),其中0<ω<3,已知f(
)=0.
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移 個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在[﹣
,
]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y=ax2(a>0)的焦點到準線的距離為 ,且C上的兩點A(x1 , y1),B(x2 , y2)關于直線y=x+m對稱,并且
,那么m= .
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