Question

某種汽車(chē)購(gòu)買(mǎi)時(shí)費(fèi)用為16.9萬(wàn)元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)及汽油費(fèi)共1萬(wàn)元；汽車(chē)的維修費(fèi)第一年為1千元，以后每年都比上一年增加2千元．
（Ⅰ）設(shè)使用n年該車(chē)的總費(fèi)用（包括購(gòu)車(chē)費(fèi)用）為S_n，試寫(xiě)出S_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）求這種汽車(chē)使用多少年報(bào)廢最合算（即該車(chē)使用多少年平均費(fèi)用最少）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）使用n年該車(chē)的總費(fèi)用S_n等于購(gòu)車(chē)費(fèi)用加上n年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)及汽油費(fèi)共n萬(wàn)元，再加上n年的維修費(fèi)用，n年的維修費(fèi)是以0.1為首項(xiàng)，0.2為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和后合并即可；
（Ⅱ）該車(chē)每一年的平均費(fèi)用等于n年的總費(fèi)用除以年數(shù)，然后利用基本不等式求最小值．

解答：解：（Ⅰ）依題意S_n=16.9+（0.1+0.3+0.5+0.7+…+（0.2n-0.1））+n
=16.9+

(0.1+0.2n-0.1)n

2

+n=0.1n²+n+16.9；
（Ⅱ）設(shè)該車(chē)的年平均費(fèi)用為S萬(wàn)元，則有
S=

1

n

Sn=

1

n

(0.1n2+n+16.9)=

n

10

+

16.9

n

+1≥2

1.69

+1=3.6．
當(dāng)且僅當(dāng)

n

10

=

16.9

n

，即n=13時(shí)，等號(hào)成立．
故：汽車(chē)使用13年報(bào)廢為宜．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列求和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)最值，利用基本不等式求最值時(shí)注意等號(hào)成立的條件，是中檔題．