Question

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，.

（Ⅰ）證明：當時，；

（Ⅱ）若曲線過點的切線有兩條，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，可證得；（2）利用假設(shè)切點的方式寫出切線方程，原問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個解；此時可采用零點存在定理依次判斷零點個數(shù)，得到范圍，也可以先利用分離變量的方式，構(gòu)造新的函數(shù)，然后討論函數(shù)圖像，得到范圍.

（1）證明：時，

在上遞減，在上遞增

（2）當時，，，明顯不滿足要求；

當時，設(shè)切點為（顯然），則有

，整理得

由題意，要求方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解

令

①當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減或先單調(diào)遞減再遞增

而，，

，

在區(qū)間上有唯一零點，在區(qū)間上無零點，

所以此時不滿足題要求.

②當時， 在上單調(diào)遞增

不滿足在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解

③當即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，

在區(qū)間上有唯一零點，所以此時不滿足題要求.

④當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，

當即時，在區(qū)間上有唯一零點，此時不滿足題要求.

當即時，在區(qū)間和上各有一個零點

設(shè)零點為，又這時顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減

，此時滿足題目要求.

綜上所述，的取值范圍是

（2）解法二：設(shè)切點為

由解法一的關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩解

顯然不是方程的解

故原問題等價于在區(qū)間內(nèi)有兩解

設(shè)，且

則，且

令，，則

又，；，

，

故，；，

從而，遞增，，遞減

令，

由于時，時

故，；，，

而時，，時，

故在區(qū)間內(nèi)有兩解

解得：