Question

已知拋物線，為坐標原點，動直線與

拋物線交于不同兩點

（1）求證:·為常數(shù)；

（2）求滿足的點的軌跡方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）略（參考解析）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）拋物線與直線聯(lián)立.由向量的數(shù)量積結(jié)合利用韋達定理可得結(jié)論.（2）根據(jù)向量的相等得到點M關(guān)于A,B兩點的坐標關(guān)系，再由第一步的韋達定理消去k值即可.但要注意軌跡的范圍.本題主要就是拋物線與直線的知識.向量知識在解析幾何中的應(yīng)用.

試題解析：解：將代入，整理得，

因為動直線與拋物線C交于不同兩點A、B，所以且，即

 

解得: 且．

設(shè)，，則．

（1）證明：·

== 

∴·為常數(shù)．

（2）解：

．

設(shè)，則    消去得： ．

又由且得：，   ，  ∴，

所以，點的軌跡方程為.

考點：1.拋物線與直線的關(guān)系.2.向量的和差知識.3.關(guān)注軌跡的范圍.