Question

（本題滿分15分）
已知函數(shù)f (x )=ax ³ + x² + 2 ( a ≠ 0 ) ．
(Ⅰ) 試討論函數(shù)f (x )的單調(diào)性；
(Ⅱ) 若a>0，求函數(shù)f (x ) 在［1，2］上的最大值．

Answer 1

解： (1) ①當(dāng)a>0時(shí)， f(x)在（-∞,0),上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
②當(dāng)a<0時(shí)， f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函數(shù)，在(,0)上是減函數(shù).
(2)當(dāng)0<<1時(shí)，f(x)的最大值為３－,
當(dāng)1≤≤2時(shí)，f(x)的最大值為,
當(dāng)>2時(shí)，f(x)的最大值為. 

本試題主要是考查了函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的求解的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件，對(duì)于參數(shù)a進(jìn)行分類討論，判定單調(diào)性得到結(jié)論。
（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)于不同情況下的單調(diào)性分別研究得到最值。
選做題：（參加IB學(xué)習(xí)的學(xué)生必須做，不參加IB學(xué)習(xí)的學(xué)生原則上不要做）
題目：（本題滿分值為10分）
解： (1)  ∵f(x)=－ax³+x²+2(a≠0),∴= -ax²+2x.  
①當(dāng)a>0時(shí)，令>0,即-ax²+2x>0,得0<x<.
∴f(x)在（-∞,0),上是減函數(shù)，在上是增函數(shù). ………………4分
②當(dāng)a<0時(shí)，令>0,即-ax²+2x>0,得x>0，或x<.
∴f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函數(shù)，在(,0)上是減函數(shù).………………8分
(2)由（１）得：
①當(dāng)0<<1,即a>2時(shí),f(x）在（1，2）上是減函數(shù),
∴f（x）_max=f（1）=３－.        ……………10分
②當(dāng)1≤≤2,即1≤a≤2時(shí)，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
∴f(x)_max=f=.                 ………12分
③當(dāng)>2時(shí)，即0<<1時(shí)，f(x)在（1，2）上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=.      ……………14分
綜上所述，當(dāng)0<<1時(shí)，f(x)的最大值為３－,
當(dāng)1≤≤2時(shí)，f(x)的最大值為,
當(dāng)>2時(shí)，f(x)的最大值為.  ………………15分