Question

下列四個命題：
（1）在四邊形ABCD中，若|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|，則四邊形ABCD是矩形；
（2）已知角α的終邊經過點（-3a，4a）（a≠0），則sinα=

4

5

；
（3）在△ABC中，tanAtanB＜1，則△ABC的形狀一定為鈍角三角形；
（4）sin（α+β）≤sinα+sinβ．
其中正確的有

 

（請?zhí)顚懴鄳�的序號）�?

Answer 1

分析：由|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|，即四邊形兩對角線相等，知（1）不正確；
根據任意角的三角函數的定義知（2）不正確．
分類討論，根據tanA tanB＜0  或0＜tanA tanB＜1，都能推出△ABC的形狀一定為鈍角三角形，故（3）正確．
通過舉反例可得（4）不正確．

解答：解：（1）在四邊形ABCD中，若|

AB

+

AC

|=|

AB

-

AC

|，即兩對角線相等，故四邊形ABCD是矩形或等腰梯形，
故（1）不正確．
（2）已知角α的終邊經過點（-3a，4a）（a≠0），則sinα=

4a

|5a|

=±

4

5

；故（2）不正確．
（3）在△ABC中，tanAtanB＜1，若tanA tanB＜0，則B、A中必有一個鈍角，則△ABC的形狀一定為鈍角三角形，
若 0＜tanA tanB＜1，則tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanB

＞0，故A+B為銳角，故角 C為鈍角，
△ABC的形狀一定為鈍角三角形．總之，△ABC的形狀一定為鈍角三角形成立，故（3）正確．
（4）sin（α+β）≤sinα+sinβ 不正確，如 α=β=225°時，
sin（α+β）=sin（450°）=sin（360°+90°）=sin90°=1，
而sinα+sinβ=sin225°+sin225°=-

2

2

-

2

2

=-

2

，故（4）不正確．
綜上，只有（3）正確，
故答案為：（3）．

點評：本題考查兩個向量加減法的幾何意義，任意角的三角函數的定義，由三角函數的值判斷角的范圍．