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        1. 已知A,B,C是函數(shù)y=ex圖象上的三點,橫坐標分別為t-1,t,t+1.
          (1)當t=1時,求實數(shù)x,y的值,使得
          .
          OB
          =x
          .
          OA
          +y
          .
          OC
          ,其中O為坐標原點;
          (2)①證明:對任意實數(shù)t,A,B,C三點不在同一條直線上;②問△ABC是銳角三角形、直角三角形、還是鈍角三角形?說明理由.
          分析:(1)t=1時,由
          .
          OB
          =x
          .
          OA
          +y
          .
          OC
          ,得關于x,y的方程組,解出即可;
          (2)①寫出向量
          AB
          、
          BC
          ,根據(jù)向量共線的充要條件可證明;②根據(jù)
          BA
          BC
          的符號及△ABC可作出判斷;
          解答:(1)解:當t=1時,
          .
          OA
          =(0,1),
          .
          OB
          =(1,e),
          .
          OC
          =(2,e2)
          ,
          代入
          .
          OB
          =x
          .
          OA
          +y
          .
          OC
          得:
          2y=1
          x+ye2=e
          ,
          解得x=e-
          e2
          2
          ,y=
          1
          2

          (2)①證明:
          .
          AB
          =(1,et-et-1)=(1,et(1-e-1))
          ,
          .
          BC
          =(1,et+1-et)=(1,et(e-1))
          ,
          因為1×et(e-1)-1×et(1-e-1)=et(e+e-1-2)=et-1(e-1)2>0,
          所以
          .
          AB
          .
          BC
          不共線,從而A,B,C三點不在同一條直線上; 
          ②解:△ABC是鈍角三角形.
          因為
          .
          BA
          .
          BC
          =(-1,-et(1-e-1))•(1,et(e-1))
          =-1-e2t-1(e-1)2<0,
          所以
          .
          BA
          .
          BC
          =|
          .
          BA
          |•|
          .
          BC
          |cosB<0,cosB<0
          ,
          由0≤B≤π及①知
          π
          2
          <B<π

          所以△ABC是鈍角三角形.
          點評:本題考查向量共線、三點共線問題,熟記向量共線的充要條件是解決問題的關鍵.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知A、B、C是直線l上的三點,O是直線l外一點,向量
          OA
          、
          OB
          OC
          滿足
          OA
          =[f(x)+2f′(1)]
          OB
          -ln(x+1)
          OC

          (Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的表達式;
          (Ⅱ)若x>0,證明:f(x)>
          2x
          x+2
          ;
          (Ⅲ)若不等式
          1
          2
          x2≤f(x2)+m2-2m-3對x∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知A、B、C是直線l上不同的三點,O是l外一點,向量
          OA
          ,
          OB
          OC
          滿足:
          OA
          -(
          3
          2
          x2+1)•
          OB
          -[ln(2+3x)-y]•
          OC
          =
          0
          .記y=f(x).
          (Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式:
          (Ⅱ)若對任意x∈[
          1
          6
          ,
          1
          3
          ]
          ,不等式|a-lnx|-ln[f'(x)-3x]>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍:
          (Ⅲ)若關于x的方程f(x)=2x+b在(0,1]上恰有兩個不同的實根,求實數(shù)b的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知A、B、C是直線l上的三點,向量
          OA
          、
          OB
          、
          OC
          滿足
          OA
          -(y+1-lnx)
          OB
          +
          1-x
          ax
          OC
          =
          o
          ,(O不在直線l上a>0)
          (1)求y=f(x)的表達式;
          (2)若函數(shù)f(x)在[1,∞]上為增函數(shù),求a的范圍;
          (3)當a=1時,求證lnn>
          1
          2
          +
          1
          3
          +
          1
          4
          +…+
          1
          n
          ,對n≥2的正整數(shù)n成立.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知A、B、C是直線l上的三點,向量
          OA
          、
          OB
          、
          OC
          滿足:
          OA
          =[y+3xf
          ′(1)]
          OB
          -2lnx•
          OC
           則函數(shù)y=f(x)的表達式為
          2lnx-
          3
          2
          x+1
          2lnx-
          3
          2
          x+1

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