Question

在△ABC中，D是BC邊上任意一點(diǎn)（D與B，C不重合），且|AB|²=|AD|²+|BD|•|DC|，則△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等邊三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

Answer 1

【答案】分析：過(guò)A作AO垂直于BC，以BC所在的直線為x軸，AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出A（0，a），B（b，0），C（c，0），d（d，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|，|AD|，|BD|，|DC|，代入已知的等式中，整理后根據(jù)D與B不重合得到d不等于b，在等式兩邊同時(shí)除以d-b，得到b+c=0，即b=-c，可得出B與C關(guān)于y軸對(duì)稱，可得出AB=AC，即三角形ABC為等腰三角形．
解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

過(guò)A作AO⊥BC，交BC于點(diǎn)O，以BC所在的直線為x軸，AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)A（0，a），B（b，0），C（c，0），D（d，0），
∵|AB|²=|AD|²+|BD|•|DC|，
∴a²+b²=a²+d²+（d-b）（c-d），即d²-b²+（d-b）（c-d）=0，
∴（d+b）（d-b）+（d-b）（c-d）=0，即（d-b）（b+c）=0，
∵D與B不重合，∴d≠b，即d-b≠0，
∴b+c=0，即b=-c，
∴B與C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴AB=AC，
則△ABC為等腰三角形．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的形狀判斷，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，對(duì)稱的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用解析式進(jìn)行判斷．