Question

（2009•濟寧一模）某甲有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子；某乙也有一個放有3個紅球、2個白球、1個黃球共6個球的箱子．
（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一個球，直到取到紅球為止，求甲取球次數(shù)ξ的數(shù)學期望；
（Ⅱ）若甲、乙兩人各從自己的箱子里任取一球比顏色，規(guī)定同色時為甲勝，異色時為乙勝，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知甲取球次數(shù)ξ的取值為1，2，3，4，分別求出其發(fā)生的概率，進而求出次數(shù)ξ的數(shù)學期望．
（Ⅱ）由題意可得，求出兩人各自從自己箱子里任取一球不同的取法，以及是同色球的取法，再根據(jù)等可能事件的概率可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意知甲取球次數(shù)ξ的取值為1，2，3，4
所以P(ξ=1)=

3

6

=

1

2

；P(ξ=2)=

3×3

6×5

=

3

10

；P(ξ=3)=

3×2×3

6×5×4

=

3

20

；
P(ξ=4)=

3×2×1×3

6×5×4×3

=

1

20

…（4分）
則甲取球次數(shù)ξ的數(shù)學期望為：
Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

20

…（6分）
（Ⅱ）由題意，兩人各自從自己箱子里任取一球比顏色共有C₆¹•C₆¹=36（種） 不同的情形…（8分）
每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，則P(A)=

C 1 3 C 1 3 + C 1 2 C 1 2 + 1

36

=

7

18

＜

1

2

…（11分）
所以甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握離散型隨機變量的期望與方差的有關公式，以及掌握等可能事件的概率．