【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為矩形,平面
平面
,
.
(1)證明:平面平面
;
(2)若,
為棱
的中點(diǎn),
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】分析:(1)由四邊形為矩形,可得
,再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得
平面
,進(jìn)一步得到
,再由
,利用線面垂直的判定定理可得
面
,即可證得
平面
;
(2)取的中點(diǎn)
,連接
,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
由題得,解得
. 進(jìn)而求得平面
和平面
的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解二面角
的余弦值.
詳解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,
∴CD⊥平面PBC,
∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
(2)設(shè)BC中點(diǎn)為,連接
,
,又面
面
,且面
面
,
所以面
.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?/span>
軸正方向,
為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
.由(1)知PB⊥平面PCD,故PB⊥
,設(shè)
,
可得
所以由題得
,解得
.
所以
設(shè)是平面
的法向量,則
,即
,
可取.
設(shè)是平面
的法向量,則
,即
,
可取.
則,
所以二面角的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
過原點(diǎn),傾斜角為
,圓
的圓心為
,半徑為2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)分別寫出直線和圓
的極坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)為極軸與圓
的交點(diǎn)(異于極點(diǎn)),點(diǎn)
為直線與圓
在第二象限的交點(diǎn),求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線
在
處的切線交
軸于點(diǎn)
.
(1)求的值;
(2)若對于內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)
,
,當(dāng)
時(shí),
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
A.
, f(
)=0
B. 函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形
C. 若是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,
)單調(diào)遞減
D. 若是f(x)的極值點(diǎn),則
(
)=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)當(dāng)a=-3時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若,求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)求函數(shù)在
上的最值;
(3)當(dāng)時(shí),若函數(shù)
恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的極值;
(2)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(3)若對任意及任意
,恒有
成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若對任意,不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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