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        <strong id="o5kww"><u id="o5kww"></u></strong>
        1. 已知點P1(x0,y0)為雙曲線
          x2
          3b2
          -
          y2
          b2
          =1(b>0,b為常數(shù))
          上任意一點,F(xiàn)2為雙曲線的右焦點,過P1作右準線的垂線,垂足為A,連接F2A并延長交y軸于點P2
          (1)求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程;
          (2)是否存在過點F2的直線l,使直線l與(1)中軌跡在y軸右側交于R1、R2兩不同點,且滿足
          OR1
          OR2
          =4b2
          ,(O為坐標原點),若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由;
          (3)設(1)中軌跡E與x軸交于B、D兩點,在E上任取一點Q(x1,y1)(y1≠0),直線QB、QD分別交y軸于M、N點,求證:以MN為直徑的圓恒過兩個定點.
          分析:(1)設點P的坐標為(x,y),點A(
          3b
          2
          ,y0),F2(2b,0)
          .所以,直線AF2的方程為y=
          2y0
          -b
          (x-2b)
          ,由此能求出線段P1P2的中點P的軌跡E的方程.
          (2)假設符合題意的直線l存在,顯然直線l斜率不為0,而F2(2b,0),設直線l的方程為x=ky+2b,點R1(x3,y3)、R2(x2,y2),由
          4x2
          3b2
          -
          4y2
          25b2
          =1
          x=ky+2b
          ⇒(k2-
          3
          25
          )y2+4kby+
          13
          4
          b2=0
          ,由此推導出k2=
          13
          19
          k2
          3
          25
          矛盾,故不存在符合題意的直線.
          (3)因為軌跡E的方程為:
          4x2
          3b2
          -
          4y2
          25b2
          =1
          ,令y=0,則有x=±
          3
          2
          b
          .設B(-
          3
          2
          b,0),D(
          3
          2
          b,0)
          ,則直線QB的方程為y(x1+
          3
          2
          b)=y1(x+
          3
          2
          b)
          ,令x=0,得M(0,
          3
          2
          by1
          x1+
          3
          2
          b
          )
          ,直線QD的方程為y(x1-
          3
          2
          b)=y1(x-
          3
          2
          b)
          ,令x=0,得N(0,
          -
          3
          2
          by1
          x1-
          3
          2
          b
          )
          ,以MN為直徑的圓的方程為x2+(y-
          3
          2
          by1
          x1+
          3
          2
          b
          )(y-
          -
          3
          2
          by1
          x1-
          3
          2
          b
          )=0
          ,由此能夠證明以MN為直徑的圓恒過兩個定點.
          解答:解:(1)設點P的坐標為(x,y),
          由題意可知,點A(
          3b
          2
          ,y0),F2(2b,0)

          所以,直線AF2的方程為y=
          2y0
          -b
          (x-2b)
          ,
          令x=0,得y=4y0,
          即點P2的坐標為(0,4y0
           
          x=
          x0
          2
          y=
          y0+4y0
          2
          ,可得
          x0=2x
          y0=
          2
          5
          y

          而點P1(x0,y0)在雙曲線上,
          所以
          4x2
          3b2
          -
          4y2
          25b2
          =1

          即線段P1P2的中點P的軌跡E的方程為:
          4x2
          3b2
          -
          4y2
          25b2
          =1
          …4分
          (2)假設符合題意的直線l存在,顯然直線l斜率不為0,而F2(2b,0),
          故可設直線l的方程為x=ky+2b,點R1(x3,y3)、R2(x2,y2),
          4x2
          3b2
          -
          4y2
          25b2
          =1
          x=ky+2b
          ⇒(k2-
          3
          25
          )y2+4kby+
          13
          4
          b2=0
          ,
          顯然,k2-
          3
          25
          ≠0
          ,
          △>0
          y2+y3=
          -4kb
          k2-
          3
          25
          y2y3=
          13b2
          4(k2-
          3
          25
          )

          由題可知,y2y3=
          13b2
          4(k2-
          3
          25
          )
          <0
          ,
          所以k2
          3
          25

          由已知
          OR1
          OR2
          =x2x3+y2y3=(k2+1)y2y3+2kb(y2+y3)+4b2=4b2
          ,
          13b2(k2+1)
          4(k2-
          3
          25
          )
          -
          8k2b2
          k2-
          3
          25
          =0
          ,
          k2=
          13
          19
          k2
          3
          25
          矛盾
          故不存在符合題意的直線…9分
          (3),因為(Ⅰ)中軌跡E的方程為:
          4x2
          3b2
          -
          4y2
          25b2
          =1
          ,
          令y=0,則有x=±
          3
          2
          b

          不妨設B(-
          3
          2
          b,0),D(
          3
          2
          b,0)

          則直線QB的方程為y(x1+
          3
          2
          b)=y1(x+
          3
          2
          b)
          ,
          令x=0,得M(0,
          3
          2
          by1
          x1+
          3
          2
          b
          )
          ,
          直線QD的方程為y(x1-
          3
          2
          b)=y1(x-
          3
          2
          b)
          ,
          令x=0,得N(0,
          -
          3
          2
          by1
          x1-
          3
          2
          b
          )

          以MN為直徑的圓的方程為x2+(y-
          3
          2
          by1
          x1+
          3
          2
          b
          )(y-
          -
          3
          2
          by1
          x1-
          3
          2
          b
          )=0
          ,
          x2+y2+
          3
          2
          b2y1
          x12-
          3
          4
          b2
          y-
          3
          4
          b2y12
          x12-
          3
          4
          b2
          =0
          ,
          點Q(x1,y1)在曲線E上,則有x2-
          3b2
          4
          =
          3y12
          25

          所以,以MN為直徑的圓的方程為x2+y2+
          25b2
          2y1
          y-
          25b2
          4
          =0
          ,
          當y=0時,恒有x=±
          5
          2
          b
          ,即證以MN為直徑的圓恒過兩個定點
          5
          2
          b,0)
          .…14分
          點評:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用,綜合性強,難度大,是高考的重點.易錯點是計算量大,容易粗心大意導致失誤.解題時要認真審題,注意解題能力的培養(yǎng).
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網已知點P1(x0,y0)為雙曲線
          x2
          8b2
          -
          y2
          b2
          =1
          (b為正常數(shù))上任一點,F(xiàn)2為雙曲線的右焦點,過P1作右準線的垂線,垂足為A,連接F2A并延長交y軸于P2
          (1)求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程;
          (2)設軌跡E與x軸交于B、D兩點,在E上任取一點Q(x1,y1)(y1≠0),直線QB,QD分別交y軸于M,N兩點.求證:以MN為直徑的圓過兩定點.

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          科目:高中數(shù)學 來源:2009年高考數(shù)學理科(江西卷) 題型:044

          已知點P1(x0,y0)為雙曲線為正常數(shù))上任一點F2為雙曲線的右焦點,過P1作右準線的垂線,垂足為A,連接F2A并延長交y軸于點P2

          (1)求線段P1P2的中點P的軌跡F的方程;

          (2)設軌跡Ex軸交于B,D兩點,在E上任取一點Q(x1y1)(y0),直線QBQD分別交于y軸于M,N兩點.求證:以MN為直徑的圓過兩定點.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          已知點P1(x0,y0)為雙曲線
          x2
          3b2
          -
          y2
          b2
          =1(b>0,b為常數(shù))
          上任意一點,F(xiàn)2為雙曲線的右焦點,過P1作右準線的垂線,垂足為A,連接F2A并延長交y軸于點P2
          (1)求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程;
          (2)是否存在過點F2的直線l,使直線l與(1)中軌跡在y軸右側交于R1、R2兩不同點,且滿足
          OR1
          OR2
          =4b2
          ,(O為坐標原點),若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由;
          (3)設(1)中軌跡E與x軸交于B、D兩點,在E上任取一點Q(x1,y1)(y1≠0),直線QB、QD分別交y軸于M、N點,求證:以MN為直徑的圓恒過兩個定點.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知點P1(x0,y0)為雙曲線(b為正常數(shù))上任一點,F2為雙曲線的右焦點,過P1作右準線的垂線,垂足為A,連接F2A并延長交y軸于點P2.

           (1)求線段P1P2的中點P的軌跡E的方程;

          (2)設軌跡E與x軸交于B,D兩點,在E上任取一點Q(x1,y1)(y1≠0),直線QB,QD分別交y軸于M,N兩點.求證:以MN為直徑的圓過兩定點.

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