Question

已知點P₁(x₀,y₀)為雙曲線(b為正常數(shù))上任一點,F₂為雙曲線的右焦點,過P₁作右準線的垂線,垂足為A,連接F₂A并延長交y軸于點P₂.

 (1)求線段P₁P₂的中點P的軌跡E的方程;

(2)設(shè)軌跡E與x軸交于B,D兩點,在E上任取一點Q(x₁,y₁)(y₁≠0),直線QB,QD分別交y軸于M,N兩點.求證：以MN為直徑的圓過兩定點.

Answer 1

(1)由已知得F₂(3b,0),A(,y₀),

則直線F₂A的方程為,

令x=0得y=9y₀,即P₂(0,9y₀).

設(shè)P(x,y),則

即

代入,得,

即P的軌跡E的方程為.

 (2)在中,

令y=0得x²=2b²,則不妨設(shè)B(,0),D(,0),

于是直線QB的方程為,

直線QD的方程為,

可得M(0,),N(0,),

則以MN為直徑的圓的方程為x²+()()=0,

令y=0得,

而Q(x₁,y₁)在上,

則,

于是x=±5b,

即以MN為直徑的圓過兩定點(-5b,0),(5b,0).