Question

如圖，某自來水公司要在公路兩側排水管，公路為東西方向，在路北側沿直線AE排水管l₁，在路南側沿直線CF排水管l₂，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線EF將l₁與l₂接通．已知AB=60m，BC=80m，公路兩側排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設EF與AB所成角為α．矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費用為W．
（1）求W關于α的函數(shù)關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．

Answer 1

分析：（1）過E作EM⊥BC得到角α，解直角三角形把MF用含α的代數(shù)式表示，把AE，F(xiàn)C也用含α的代數(shù)式表示，然后即可得到W關于α的函數(shù)關系式；
（2）利用導數(shù)求矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費用為W的最小值．

解答：解：（1）如圖，

過E作EM⊥BC，
垂足為M，由題意得∠MEF=α（0≤tanα≤

4

3

），
故有MF=60tanα，EF=

60

cosα

，AE+FC=80-60tanα，
所以W=(80-60tanα)×1+

60

cosα

×2=80-60•

sinα

cosα

+120•

1

cosα

=80-60•

sinα-2

cosα

．
（2）設f(α)=

sinα-2

cosα

（其中0≤α≤α0＜

π

2

，tanα0=

4

3

），
則f′(α)=

cosαcosα-(-sinα)(sinα-2)

cos2α

=

1-sin2α

cos2α

．
令f^′（α）=0得1-2sin2α=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
列表

α	(0， π 6 )	π 6	( π 6 ，α0)
f′（α）	+	0	-
f（α）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當α=

π

6

時有f(α)max=

sin π 6 -2

cos π 6

=

1 2 -2

3 2

=-

3

，此時有W_min=80+60

3

．
答：排管的最小費用為80+60

3

萬元，相應的角α=

π

6

．

點評：本題考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，考查了利用導函數(shù)求函數(shù)的最值，對于實際問題要注意的是需要注明具有實際意義的函數(shù)定義域，正確的建模是解答該題的關鍵，是中檔題．