Question

如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線l₁排，在路南側(cè)沿直線l₂排，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l₁與l₂接通．已知AB=60m，BC=80m，公路兩側(cè)排管費(fèi)用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費(fèi)用為每米2萬元，設(shè)EF與AB所成的小于90°的角為α．
（Ⅰ）求矩形區(qū)域ABCD內(nèi)的排管費(fèi)用W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系；
（Ⅱ）求排管的最小費(fèi)用及相應(yīng)的角α．

Answer 1

分析：（Ⅰ）過E作BC的垂線，找出角α，由題意得到角α的范圍，用角α表示出公路兩側(cè)的長度及公路間的長度，乘以每米的排管費(fèi)得到函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）引入輔助函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析最值．

解答：解：（Ⅰ）如圖，

過E作EM⊥BC，垂足為M，由題意得∠MEF=α(0≤tanα≤

4

3

)．
故有MF=60tanα，EF=

60

cosα

，AE+FC=80-60tanα．
∴W=（80-60tanα）×1+

60

cosα

×2=80-

60sinα

cosα

+

120

cosα

=80-

60(sinα-2)

cosα

；
（Ⅱ）設(shè)f（α）=

sinα-2

cosα

（0≤α≤α₀，tanα0=

4

3

），
則f′(α)=

cosα•cosα-(-sinα)•(sinα-2)

cos2α

=

1-2sinα

cos2α

．
令f′（α）=0，得1-2sinα=0，即sinα=

1

2

，得α=

π

6

．
∴當(dāng)α∈(0，

π

6

)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)α∈(

π

6

，α0)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
∴當(dāng)α=

π

6

時(shí)，有f(α)max=-

3

，此時(shí)Wmin=80+60

3

．
答：排管的最小費(fèi)用為80+60

3

萬元，相應(yīng)的角為α=

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，把費(fèi)用正確表示為角α的函數(shù)關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．