Question

【題目】已知函數f（x）=3|x|+log3|x|．
（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）說明函數f（x）在（0，+∞）上的單調性，并利用單調性定義證明；
（3）若 f（2a）＜28，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=3|x|+log3|x|的定義域為R{x|x≠0}

且f（﹣x）=3|﹣x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f（x），

則函數f（x）為偶函數

（2）解：函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，

證明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）= ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

則f（x）在（0，+∞）上是增函數

（3）解：∵f（3）=28，f（2a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函數

∴2a＜3，∴a＜log23

【解析】（1）求函數f（x）=3|x|+log3|x|的定義域為R{x|x≠0}，判斷f（﹣x）=3|﹣x|+log3|﹣x|=3|x|+log3|x|=f（x），即可；（2）用定義法證明單調性一般可以分為五步，取值，作差，化簡變形，判號，下結論；（3）利用f（3）=28，f（2a）＜28，（x）在（0，+∞）上是增函數，即可得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數單調性的判斷方法(單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數的奇偶性(偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱)的相關知識才是答題的關鍵．