Question

已知拋物線，點(diǎn)P（-1，0）是其準(zhǔn)線與軸的焦點(diǎn)，過P的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn).

（1）當(dāng)線段AB的中點(diǎn)在直線上時(shí)，求直線的方程；

（2）設(shè)F為拋物線C的焦點(diǎn)，當(dāng)A為線段PB中點(diǎn)時(shí)，求△FAB的面積.

 

Answer 1

【答案】

（1）.   （2）.

【解析】

試題分析：（1）首先確定拋物線方程為，將直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯(lián)立，消去得應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，進(jìn)一步求得直線的斜率，從而可得直線方程.應(yīng)注意直線斜率的存在性.

（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式確定得到，再利用A、B為拋物線上點(diǎn)，得得到方程組求得

，，計(jì)算得到△FAB的面積    .注意結(jié)合圖形分析，通過確定點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形的高線長(zhǎng).

試題解析：（1）因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線為，所以，

拋物線方程為                     2分

設(shè)，直線的方程為，（依題意存在，且≠0）與拋物線方程聯(lián)立，消去得    （*）

，    4分

      

所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即，所以       6分

（此時(shí)（*）式判別式大于零）

所以直線的方程為     7分

（2）因?yàn)锳為線段PB中點(diǎn)，所以             8分

由A、B為拋物線上點(diǎn)，得，                10分

解得，                     11分

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，           12分

所以△FAB的面積      14分

考點(diǎn)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系.