Question

（理科做：）已知A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（II）設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上的兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出其值；若不是定值，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由|AF₁|+|AF₂|=4，知a=2，設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把（1，1）代入，得

1

4

+

1

b2

=1，得b2=

4

3

，由此能求出兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)．
（II）設(shè)AC：y=k（x-1）+1，聯(lián)立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，由A（1，1）在橢圓上，方程有一個(gè)根為x_A=1，知xC=

3k2-6k-1

3k2+1

，由AC與AD的傾斜角互補(bǔ)，能推導(dǎo)出CD的斜率為定值．

解答：解：（I）∵|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，∴a=2，
設(shè)橢圓方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，
把（1，1）代入，得

1

4

+

1

b2

=1，
∴b2=

4

3

，
∴c2=4-

4

3

=

8

3

，
∴兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)F1(-

2 6

3

，0)，F2(

2 6

3

，0)．
（II）設(shè)AC：y=k（x-1）+1，
聯(lián)立

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3 4 y2=1

，
得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，
∵A（1，1）在橢圓上，方程有一個(gè)根為x_A=1，
∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

，
∵AC與AD的傾斜角互補(bǔ)，
∴AD為：y=-k（x-1）+1，
同理，xD=

3k2+6k-1

3k2+1

，
∵y_C=k（x_C-1）+1，
y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k，
∴kCD=

yC-yD

xC-xD

=

1

3

．
故CD的斜率為定值

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查論證推導(dǎo)能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．