Question

已知方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為

1

4

的等差數(shù)列，則|m-n|=

 

Answer 1

分析：把方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0化為x²-2x+m=0，或x²-2x+n=0，設(shè)設(shè)

1

4

是第一個(gè)方程的根，代入方程即可求得m，則方程的另一個(gè)根可求；設(shè)另一個(gè)方程的根為s，t，（s≤t）根據(jù)韋達(dá)定理可知∴s+t=2=

1

4

+

7

4

根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知四個(gè)跟成的等差數(shù)列為

1

4

，s，t，

7

4

，進(jìn)而根據(jù)數(shù)列的第一項(xiàng)和第四項(xiàng)求得公差，則s和t可求，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得n，最后代入|m-n|即可．

解答：解：方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0可化為
x²-2x+m=0①，或x²-2x+n=0②，
設(shè)

1

4

是方程①的根，
則將

1

4

代入方程①，可解得m=

7

16

，
∴方程①的另一個(gè)根為

7

4

．
設(shè)方程②的另一個(gè)根為s，t，（s≤t）
則由根與系數(shù)的關(guān)系知，s+t=2，st=n，
又方程①的兩根之和也是2，
∴s+t=

1

4

+

7

4

由等差數(shù)列中的項(xiàng)的性質(zhì)可知，
此等差數(shù)列為

1

4

，s，t，

7

4

，
公差為[

7

4

-

1

4

]÷3=

1

2

，
∴s=

3

4

，t=

5

4

，
∴n=st=

15

16

∴，|m-n|=|

7

16

-

15

16

|=

1

2

．
故答案為：

1

2

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生創(chuàng)造性思維和解決問題的能力．