Question

【題目】水培植物需要一種植物專用營養(yǎng)液，已知每投放（且）個單位的營養(yǎng)液，它在水中釋放的濃度 (克/升）隨著時間 (天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的營養(yǎng)液濃度為每次投放的營養(yǎng)液在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)水中營養(yǎng)液的濃度不低于4(克/升)時，它才能有效.

（1）若只投放一次2個單位的營養(yǎng)液，則有效時間最多可能達到幾天？

（2）若先投放2個單位的營養(yǎng)液，3天后再投放個單位的營養(yǎng)液，要使接下來的2天中，營養(yǎng)液能夠持續(xù)有效，試求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）3（2）

【解析】

（Ⅰ）營養(yǎng)液有效則需滿足，由分段函數(shù)，對討論，解不等式即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，則此時第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，且；設(shè)設(shè)為第一次投放營養(yǎng)液的濃度， 為第二次投放營養(yǎng)液的濃度， 為水中的營養(yǎng)液的濃度；；可得在上恒成立，運用參數(shù)分離和換元法，結(jié)合基本不等式，即可得到的最小值．

（1）營養(yǎng)液有效則需滿足，

則或，

即為或，

解得，

所以營養(yǎng)液有效時間最多可達3天；

（2）設(shè)第二次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，

則此時第一次投放營養(yǎng)液的持續(xù)時間為天，且；

設(shè)為第一次投放營養(yǎng)液的濃度， 為第二次投放營養(yǎng)液的濃度， 為水中的營養(yǎng)液的濃度；

∴，

，

由題意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

令，則，

又，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；

因為

所以的最小值為.